Formulación de Westergaard (1)
- La carga P se aplica sobre un área elíptica de semiejes a y b .
- El firme está constituido por una única capa, es isótropo y es homogéneo y tiene un módulo elástico E y un coeficiente de Poissón µ, el espesor h es uniforme.
- El soporte (base o subbase) tiene un módulo elástico K
Caso de que la carga esté situada en
un punto alejado de junta, grieta o fisura :
W0= P/8 * K *ß^2 x(1-F1 x
Ln(F2) – F3+F4).................... (Fw1)
F1=(a2+b2+4 X2
+4Y2 )/(16πß2)
F2= E h3/(K((a+b)/2)4)
F3= (a2+4ab+b2) /(16πß2)
F4= (a-b) (x2-y2)/
(2πß2 (a+b))
ß=( Eh3/(12(1- µ2)K))0.25
ß es el radio de rigidez del firme
La tensión máxima que se produce en
la base del paquete resistente y
en el eje de la carga se calcula por :
σmax=2.2
x (1+µ)xP/(3+µ)h2 x log(F2/100)+F5
............................(Fw2)
Siendo F5:
F5=3x(1+ µ)P/(π(3+μ)h2) x (1.84- 4/3
μ+(1+µ)(a-b)/(a+b)+2(1-μ)ab/(a+b)2 +1.18(1+2µ) b/ß)
Caso de que la carga se sitúe en el
borde de una junta o grieta :
La deflexión en un punto de coordenadas (0,y) situado sobre
el eje de simetría de la huella, perpendicular al borde de la junta o grieta y por tanto en la dirección de avance del
vehículo , se calcula por la siguiente expresión :
W1= P x( ( 2+1.2 µ)/(Eh3K))0.5 x
( ( 1-(0.76+0.4µ) x b/ß) x (
1-(0.76+0.4µ) x y/ß) ) …...........................….(Fw3)
La tensión máxima en la base del paquete resistente y a
lo largo de la fisura es:
σmax=2.2 x (1+µ)xP/( (3+µ)h2 ) x log(F2/100)+F6.........................
(Fw4)
Siendo F6:
F6=3x(1+ µ)x P/(π(3+μ)h2) x (1.84- 4/3 μ+(1+µ)(a-b)/(a+b)+2x(1- µ) x
a x b /(a+b)^2+ 1.18(1+2µ) b/ß)
Caso de
que la carga esté situada de forma
simétrica sobre la grieta o junta y esta no tenga transferencia de carga
alguna:
En realidad lo que se calcula es una
huella semieliptica en borde de junta o grieta de 0% de transmisión de carga:
W2=
P x( ( 2+1.2 µ)/(Eh3K))0.5
x ( ( 1-(0.323+0.17µ) x b/ß) x ( 1-(0.76+0.4µ) x y/ß) ).............. (Fw5)
La tensión máxima en la base del paquete resistente repartido
a ambos lados de la fisura es:
σmax=2.2 x (1+µ)xP/(2x(3+µ)h2 ) x log(F2/100)+F7..............................
(Fw6)
siendo F7:
F7=3x(1+ µ)(P/2)/(π(3+μ)h2) x (3.84- 4/3 μ-(1-µ)(a-b)/(a+b)+
0.5(1+2µ) b/ß)
La tensión máxima de tracción en la superficie de una esquina (o punto
de cruce de dos fisuras) es:
σmax =3 xP/h2x( 1-(12(1- µ2)K(Eh3))0.3
x (a+b)/2 x20.5)……………………... (Fw7)
Observemos
que en esta formulación no se hace intervenir el módulo de Poissón del material
de la subbase.
Si
consideramos un sistema multicapa, el módulo que asignamos a la única capa superior,
será el módulo conjunto del paquete resistente.
Estudio de esta
formulación:
La principal aportación de de esta formulación, consiste en que ofrece
la posibilidad de evaluar el firme disponiendo de la deflexión conocida en un
punto del firme alejado de discontinuidades verticales (Centro de losa ó punto
alejado de fisuras y juntas).
La resolución del problema en punto
alejado de grietas o juntas se realiza aplicando las fórmulas Fw1 y Fw2.
Para el cálculo en borde de junta o
grieta (zona donde se suelen tomar mediciones),
Las formulas Fw5 y Fw6 nos relacionan la deflexión y la tensión con las
características de la carga y del firme en estudio, pero solo en el caso de que
el coeficiente de transmisión de carga en la grieta o junta sea nulo.
Las situaciones reales que se
detectan por el cálculo deflectométrico realizado con datos tomados con el
deflectógrafo de impacto a ambos lados de la grieta o de la junta, así como las
inspecciones visuales de testigos tomados con sonda rotatoria o catas en
fisuras y juntas, evidencia que en la realidad es muy frecuente que el
coeficiente de transmisión de carga no sea nulo y por tanto las formulas Fw3 a
Fw7 no sean de aplicación directa para realizar un estudio aproximativo de la
estructura del firme.
Para obviar esta situación, la
formulación de Westergard la he modificado (Formulación de Westergard compleja)
introduciendo el factor de fisuración Fwfisura definido como:
Fwfisura = (W1-W2)/100, asignando a la
deflexión en junta el valor que se calcula por las formulas Fw3 o Fw5,
disminuido en la cantidad: CTC/100 x Fwfisura.
Así mismo, para el cálculo de las
tensiones en junta o fisura ( σj )se modifican aumentándolas en la
cantidad: CTC / 100 * (σc - σj)
Siendo CTC el coeficiente de
transmisión de carga realmente calculado (en %) o el que necesitamos calcular
para encontrar la compatibilidad entre las deflexiones realmente medidas en
centro y en junta o grieta.
Para una aplicación practica del modelo, es preciso conocer:
- Deflexión medida en un punto alejado de borde o grieta. (W0)
- Deflexión medida en borde de grieta (W1).
- Carga aplicada y dimensiones de la huella
- Espesor total del firme resistente (capas y módulos).
En primer lugar calcularemos las parejas
de módulos Ec (módulo conjunto del firme resistente) y Esb (módulo de la
subbase o explanada de apoyo) que son compatibles con las condiciones de carga
y con la deflexión W0 medida, utilizando para este cálculo la formula Fw1
anterior con X=Y=0.
El resultado de este cálculo es que
tenemos infinitas soluciones asociadas en una misma función no lineal pero de
una sola variable, es decir: f1(Ec, Esb, W)=0 donde W es la deflexión medida en
centésimas de milímetro y que actúa de parámetro , lo que supone la posibilidad
de acotar la función según la confianza que tengamos en las mediciones
realizadas u otros criterios.
A continuación calcularemos las
parejas de módulos que son compatibles con la deflexión W1 obtenida en la
posición de carga en borde de junta o grieta, para ello aplicamos la formula Fw2
anterior con X=0 e Y=0 nuevamente. Así
llegamos a definir la función f2 (Ec,Esb,W)=0
Si las condiciones reales del firme fuesen las de cálculo, el problema ya estaría resuelto dado que las dos funciones obtenidas tienen un punto de intersección que es justo la pareja de valores Ec, Esb que hacen compatibles las deflexiones W0 y W1.
En el gráfico adjunto Nº 12 se presenta el resultado para un firme semirrígido con 15 cm de capa asfáltica y 20 de grava-cemento de buena calidad sobre el que hemos medido una deflexión de 15 centésimas de milímetro en zona alejada de grietas
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| Gráfico adjunto Nº 12 |
El cálculo de la función f1 (curva
roja del gráfico adjunto) nos aporta infinitas soluciones del módulo de la base,
compatibles con la deflexión medida W0=15 ; como conocemos el módulo conjunto
del paquete resistente, calculamos el valor de Esb (K) que es compatible con la
deflexión medida. Una vez conocido Esb, la función f2 (curva amarilla) es el
resultado de aplicar la fórmula Fw5. Determinamos el valor necesario de la deflexión en junta o
grieta para que sea compatible el módulo Esb ya calculado,
con un CTC=0 en la grieta.
Ambas funciones tienen una solución
de compatibilidad, es decir, una pareja de valores Ec,Esb que nos proporcionan
la deflexión medida en el centro y que en junta producirían una deflexión
igual a la que se deduce para el módulo de la subbase en centro y TC=0 .
En este caso, la solución se produce
para unas deflexiones de 14,9 y 45,6
mm/100 medidas en zona no fisurada ni próxima a fisura y en el borde de fisura
o junta respectivamente y unos valores de 78.600 para el módulo conjunto Ec y 950 para
el de la subbase Es .
Si la deflexión medida en el centro o
lejos de grieta, tiene oscilaciones en su valoración, bien porque la garantía
de la medición realizada no sea del todo buena o porque la deflexión utilizada
sea el valor medio de una serie de medidas (deflectograma) pertenecientes a una
misma sección homogénea, deberemos de atribuirle un margen de variación para
evaluar las diferencias que vamos a obtener
al aplicar el modelo de Westergard.
Continuará en la siguiente publicación de este Blog.
Consultas, peticiones o sugerencias: Enrique López Gámiz - enlogami@gmail.com
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