Westergaard (3)

La formulación de Westergaard (3)

.........Esto supone que los puntos de intersección con ellas de la curva amarilla (compatibilidad de módulos para W1),nos delimitarán dos parejas de módulos Esb1, Ec1 y Esb2, Ec2 que acotan la gama de soluciones posibles.

En este caso tenemos:

Deflexión W0 – 5%:    Ec1= 350.000    Esb1 = 300

Deflexión W0 …….:    Ec1= 110.000    Esb1 = 848

Deflexión W0 + 5%:    Ec1=  50.000    Esb1 = 1661 .

La variación en los resultados es notable por el hecho de que la deflexión W0 la consideremos ligeramente superior o inferior a la medida realmente conservando la deflexión W1. 

Si este cálculo lo realizamos para diversas deflexiones compatibles D_W0 y D_W1 (márgenes de error en la medición de las deflexiones por ejemplo), los diferentes módulos que obtenemos conservan la relación entre ellos.

El módulo Esb se relaciona con la deflexión mediante una expresión parabólica que en el ejemplo del gráfico 17 (ver publicación anterior en este blog) es:

Esb= 8.29 x Dw₀² - 232.76 x Dw₀ +2105 ( Punto alejado de grieta o Junta)

Esb= 0.854 x Dw₁² - 74.68 x Dw₁ +2104 (Punto en borde de grieta o junta)

Estas formulas, fáciles de obtener en cada caso, nos están indicando la existencia de una relación entre la deflexión y el módulo y que esa relación es diferente según que consideremos la deflexión en junta o grieta (D_W1) o en centro/alejada de grieta (D_W0).

Si repetimos el cálculo para una carga doble (P=13.000Kg) nos encontramos que las soluciones encontradas son exactamente las mismas y las deflexiones el doble de las calculadas anteriormente (gráfico Nº 18) , pero las ecuaciones de compatibilidad son ahora diferentes:

Esb= 2.065 x Dw₀² – 116.06 x Dw₀ +2103(Punto alejado de grieta o junta)

Esb= 0.213 x Dw₁² - 37.31 x Dw₁ +2104(Punto en borde de grieta o junta)

 Para una determinada carga P, estas expresiones las podemos generalizar como:

Esbc=k_1c x Dw₀² – K_2c x Dw₀ +K_3c (Punto alejado de grieta o junta)

Esbj=k_1j x Dw₁² – K_2j x Dw₁ +K_3j    (Punto en borde de grieta o junta)

De aqui se deduce que :

Dw_{0 = -} K_2c /(2 x k_1c ) +- ((K_2c /(4 x k_1c ))^² .- (K_3c-E_sbc)/K_1c))^^(1/2)

Dw_{1 = -} K_2j /(2 x k_1j ) +- ((K_2j /(4 x k_1j ))^² .- (K_3j-E_sbj)/K_1j))^^(1/2)

Por tanto:

1º Esbc y Esbj tienen unos valores extremos alcanzables dados por la condición  E_sbc= K_3c y E_sbj= K_3j  luego el valor del módulo de la base ya queda acotado.

En los casos anteriores y para cualquier carga , los máximos serian 2.104 Kg/cm2

2º Estas ecuaciones tienen una raiz doble  Esb =K₃ – K1 x (K₂/(4 xK₁)^²

El los casos anteriores  la resolución da Esb= 1695 Kg/cm2 tanto para junta como para centro y para cualquiera de las cargas.

3º La existencia de raíz doble implica  una sola solución en deflexiones, dada por las expresiones

Dw_{0 = -} K_2c /(2 x k_1c ) y   Dw_{1 = -} K_2j /(2 x k_1j )

Estas deflexiones en los ejemplos anteriores son:

Carga de 6,5 Ton: Dw₀ = 14,03  Dw₁= 43,72  mm/1000

Carga de 13  Ton: Dw₀ = 28,1    Dw₁= 87,6   mm/1000

                        Que serian los valores que obtendríamos para un módulo 

                         Esb= 1695 (gráfico 19):

Gráfico Nº 19

 Sin embargo, si hacemos el cálculo con Esb= 1695 nos encontramos que las deflexiones compatibles son muy inferiores a las anteriores lo que demuestra que las consideraciones anteriores solo son validas dentro de una determinada hipótesis de módulos  de las capas resistentes Ec y la subbase Esb.

En este caso concreto, para obtener la misma deflexión con el módulo nuevo, sería preciso un modulo Ec=22.500 (Gráfico 20):

Gráfico Nº 20