La Ecuación fundamental del firme(1)

 La Ecuación fundamental del firme:

Esta ecuación sintetiza en una sencilla fórmula  la relación que existe entre los módulos del paquete resistente  superior y el de la base de apoyo, para un firme determinado y una deflexión determinada que se ha medido en un punto alejado de junta, fisura o discontinuidad apreciable.

Para un espesor H del paquete resistente , un factor de rigidez Fr ,  un módulo de Poisson Mu para la base de apoyo , si medimos una determinada deflexión W_d  que ha sido provocada por la acción de una carga de valor P aplicada sobre una huella circular de radio Rc  , se puede establecer una ecuación de la forma :

                                                   K=  α₁ x E  ^α2

Donde K y E son los módulos de la base (K) y del paquete resistente (E), α₁ y α₂  son unos parámetros que dependen de las características del firme anteriormente citadas y de la Deflexión W_d que hemos medido.

Esta expresión realmente soluciona una buena parte del proceso de calculo y dimensionamiento de un firme, dado que el resto de las variables son en general bastante bien conocidas.

 Deducción de la ecuación restringida a un valor del factor de rigidez:

Según se ha visto en apartados anteriores, la deflexión puede calcularse de diversas formas atendiendo a formulaciones varias (Odemark ,  Boussinesq,  Westergaard,  Palmer y Barber etc etc) .

El cálculo de la deformada del firme bajo una o varias cargas uniformemente distribuidas cada una sobre una huella determinada y que circulan con unas posiciones determinadas , nos permite reproducir como se deforma un firme al paso de uno o varios ejes simples, dobles o tridem u otra configuración cualquiera, este cálculo se ha basado en el desarrollo que hace Timosenko en su obra “Resistencia de materiales segunda parte” al que se le han introducido diversas variantes en función de las experiencias realizadas sobre deformadas reales que se han tratado de reproducir a través de las ecuaciones de la deformada que formula el citado autor de forma magistral y que en el presente estudio se han desarrollado para su aplicación generalizada.

Así se consigue reproducir el estado de deformación y de esfuerzos que se generan no solo en el punto de aplicación de la carga, sino a lo largo de una longitud de firme que abarca todo el cuenco de deformación del mismo.

Consideremos un determinado firme del que desconocemos los módulos E y K pero que conociésemos el resto de los parámetros fundamentales  Fr,μ y H , sometido a la acción de una carga uniformemente repartida sobre una superficie de radio Rc

Una determinada  deflexión en un punto bajo la carga  podrá obtenerse por infinitas combinaciones e E y de K .

Si tenemos en cuenta la formula calculada en anteriores publicaciones,que nos da la deflexión en un punto situado bajo la huella de carga en la deformación isótropa del firme:y la calculamos en el mismo eje de la carga , donde los valores de b y c son iguales de valor Rc (Radio de carga) encontramos para la deflexión el valor:

Si nos propusiésemos calcular la deflexión para dos valores determinados  de E y de K que fuesen variables dejando constantes los restantes parámetros fundamentales, para dos parejas E₁ ,K₁ y E₂,K₂ que diesen como resultado la misma deflexión bajo la misma carga ,tendría que verificarse la relación:  

  

En la que solo hay dos variables desconocidas  que son los módulos E y K. Por tanto  la relación entre ambos módulos existe y es calculable  mediante la ecuación anterior.

Esta relación se puede expresar de la forma K=  α₁ x E  ^α2 indicada en el apartado anterior y le llamaremos ecuación fundamental restringida del firme ya que nos resuelve el problema de calcular, dada la deflexión y el factor de rigidez, la relación que existe entre el módulo de la base y el módulo del paquete resistente y por tanto si aceptamos como dato de entrada un determinado valor de E , calcular K es inmediato.

Para  deducir la formula, un camino  (tal vez el más sencillo) se basa en utilizar la formulación de Westergaard ya explicada en  el capítulo 1 del presente trabajo, y relacionarla con los valores de E y de K a través de la deflexión obtenida para estos mismos valores, aplicando la formulación de la deformada en las condiciones descritas  anteriormente.
Como la deflexión ha de ser la misma  ya se exprese en función de E para K fijado o en función de K para E fijado, igualándolas se obtiene la ecuación que buscamos.

Llamaremos  W_d  a la deflexión calculada por el procedimiento del ajuste de la deformada en el punto de aplicación de la carga .

Por otro lado, llamaremos W₀ a la misma deflexión calculada en las mismas condiciones y en el mismo punto pero deducida por aplicación de la teoría de Westergaard que se desarrolló   al principio del presente trabajo, utilizando la expresión de la misma cuando se trata de un punto alejado de discontinuidades:

                                   W₀= P/8 * K *ß^² x(1-Φ₁ x Ln(Φ ₂) – Φ ₃+ Φ ₄)............ (Fw1)

Φ₁=(a²+b²+4 X² +4Y² )/(16πß²)

Φ ₂= E h³/(K((a+b)/2)⁴)

Φ ₃= (a2+4ab+b2) /(16πß²) 

Φ₄= (a-b) (x²-y²)/ (2πß² (a+b))

ß=( Eh³/(12(1- µ²)K))^0.25

En la tabla adjunta se presentan los resultados encontrados para ambas deflexiones W_d y W₀ (columnas de color azul) para una determinada hipótesis de características del firme, calculadas como se ha dicho  por el método de la deformada y Westergaard en un firme de 25 cm de espesor sobre una base de coeficiente de  poisson 0,35 , un factor de rigidez 1 y bajo la aplicación de una carga de 6500 kg sobre una huella circular de 15 cm de radio.

Si utilizamos  los resultados obtenidos para diversas combinaciones de módulos entre E= 40.000 y E= 300.000  con K= 500 hasta K= 10.000 y comparamos la relación entre W_d y W₀, observamos que :

             En función de E:

                                                              W₀= K_1E x W_d ^K2E

                En función de K:

                                                                  W₀= K_1K x W_d ^K2K

Ambas ecuaciones se consiguen con correlaciones prácticamente de la unidad.

Por otro lado, se encuentran las siguientes correlaciones perfectas:

                                K_1E = K_11E x E ^K12E     y  K_2E = K_21E x E ^K22E

                                K_1K = K_11K x K ^K12K     y  K_2K = K_21K x K ^K22K

Que nos relacionan los parámetros    K_{1E  ,}  K_{2E ,}  K_1K ,  K_2K          con E y con K.

Operando :                                          K_1K x W_d ^K2K = K_1E x W_d ^K2E

Y de aquí se deduce:    

                                                            W_d ^φ1(K,E) = φ₂(K,E)

Siendo:

φ₁(K,E)= (K_2K - K_2E)  /  (K_2K  x  K_2E) 

φ₂(K,E)= (1/K_1E) ^{( (1/ K2E)} / (1/ K_1k) ^{(1/ K2K) )}

Esta ecuación se resuelve fácilmente adoptando la forma : K=  α₁ x E  ^α2

En el gráfico adjunto Nº 75   se puede apreciar la forma en que varían las parejas de valores E, K para una misma deflexión .

Las curvas rojas representan la variación de K y las negras la variación de E entre un valor mínimo de 20000 Kg/cm2 (curva mas a la derecha ) hasta un máximo de 300.000 (curva mas a la izquierda. Cualquier deflexión puede darse para una determinada combinación de valores, así si nos fijamos en una deflexión de 300 milésimas de milímetro evaluada por el método de la deformada (eje vertical), la podríamos haber obtenido con  la pareja K=2.200,   
 E= 20.000 o con las parejas  K=1.400  E=80.000  , K= 1.200 E= 140.000 etc.

La ecuación fundamental restringida en este caso (d=300)  es
  K= 54186,57 x E ^-0.3234

Para d=200 sería

K=90.556,11 x E^-0.3215  etc…

(Mas adelante se ampliará el procedimiento de cálculo bajo petición expresa por parte de algún interesado en su conocimiento,que podrán formular contactando conmigo a través de este blog )