La Ecuación fundamental del firme(1)

 La Ecuación fundamental del firme:

Esta ecuación sintetiza en una sencilla fórmula  la relación que existe entre los módulos del paquete resistente  superior y el de la base de apoyo, para un firme determinado y una deflexión determinada que se ha medido en un punto alejado de junta, fisura o discontinuidad apreciable.

Para un espesor H del paquete resistente , un factor de rigidez Fr ,  un módulo de Poisson Mu para la base de apoyo , si medimos una determinada deflexión W_d  que ha sido provocada por la acción de una carga de valor P aplicada sobre una huella circular de radio Rc  , se puede establecer una ecuación de la forma :

                                                   K=  α₁ x E  ^α2

Donde K y E son los módulos de la base (K) y del paquete resistente (E), α₁ y α₂  son unos parámetros que dependen de las características del firme anteriormente citadas y de la Deflexión W_d que hemos medido.

Esta expresión realmente soluciona una buena parte del proceso de calculo y dimensionamiento de un firme, dado que el resto de las variables son en general bastante bien conocidas.

 Deducción de la ecuación restringida a un valor del factor de rigidez:

Según se ha visto en apartados anteriores, la deflexión puede calcularse de diversas formas atendiendo a formulaciones varias (Odemark ,  Boussinesq,  Westergaard,  Palmer y Barber etc etc) .

El cálculo de la deformada del firme bajo una o varias cargas uniformemente distribuidas cada una sobre una huella determinada y que circulan con unas posiciones determinadas , nos permite reproducir como se deforma un firme al paso de uno o varios ejes simples, dobles o tridem u otra configuración cualquiera, este cálculo se ha basado en el desarrollo que hace Timosenko en su obra “Resistencia de materiales segunda parte” al que se le han introducido diversas variantes en función de las experiencias realizadas sobre deformadas reales que se han tratado de reproducir a través de las ecuaciones de la deformada que formula el citado autor de forma magistral y que en el presente estudio se han desarrollado para su aplicación generalizada.

Así se consigue reproducir el estado de deformación y de esfuerzos que se generan no solo en el punto de aplicación de la carga, sino a lo largo de una longitud de firme que abarca todo el cuenco de deformación del mismo.

Consideremos un determinado firme del que desconocemos los módulos E y K pero que conociésemos el resto de los parámetros fundamentales  Fr,μ y H , sometido a la acción de una carga uniformemente repartida sobre una superficie de radio Rc

Una determinada  deflexión en un punto bajo la carga  podrá obtenerse por infinitas combinaciones e E y de K .

Si tenemos en cuenta la formula calculada en anteriores publicaciones,que nos da la deflexión en un punto situado bajo la huella de carga en la deformación isótropa del firme:y la calculamos en el mismo eje de la carga , donde los valores de b y c son iguales de valor Rc (Radio de carga) encontramos para la deflexión el valor:

Si nos propusiésemos calcular la deflexión para dos valores determinados  de E y de K que fuesen variables dejando constantes los restantes parámetros fundamentales, para dos parejas E₁ ,K₁ y E₂,K₂ que diesen como resultado la misma deflexión bajo la misma carga ,tendría que verificarse la relación:  

  

En la que solo hay dos variables desconocidas  que son los módulos E y K. Por tanto  la relación entre ambos módulos existe y es calculable  mediante la ecuación anterior.

Esta relación se puede expresar de la forma K=  α₁ x E  ^α2 indicada en el apartado anterior y le llamaremos ecuación fundamental restringida del firme ya que nos resuelve el problema de calcular, dada la deflexión y el factor de rigidez, la relación que existe entre el módulo de la base y el módulo del paquete resistente y por tanto si aceptamos como dato de entrada un determinado valor de E , calcular K es inmediato.

Para  deducir la formula, un camino  (tal vez el más sencillo) se basa en utilizar la formulación de Westergaard ya explicada en  el capítulo 1 del presente trabajo, y relacionarla con los valores de E y de K a través de la deflexión obtenida para estos mismos valores, aplicando la formulación de la deformada en las condiciones descritas  anteriormente.
Como la deflexión ha de ser la misma  ya se exprese en función de E para K fijado o en función de K para E fijado, igualándolas se obtiene la ecuación que buscamos.

Llamaremos  W_d  a la deflexión calculada por el procedimiento del ajuste de la deformada en el punto de aplicación de la carga .

Por otro lado, llamaremos W₀ a la misma deflexión calculada en las mismas condiciones y en el mismo punto pero deducida por aplicación de la teoría de Westergaard que se desarrolló   al principio del presente trabajo, utilizando la expresión de la misma cuando se trata de un punto alejado de discontinuidades:

                                   W₀= P/8 * K *ß^² x(1-Φ₁ x Ln(Φ ₂) – Φ ₃+ Φ ₄)............ (Fw1)

Φ₁=(a²+b²+4 X² +4Y² )/(16πß²)

Φ ₂= E h³/(K((a+b)/2)⁴)

Φ ₃= (a2+4ab+b2) /(16πß²) 

Φ₄= (a-b) (x²-y²)/ (2πß² (a+b))

ß=( Eh³/(12(1- µ²)K))^0.25

En la tabla adjunta se presentan los resultados encontrados para ambas deflexiones W_d y W₀ (columnas de color azul) para una determinada hipótesis de características del firme, calculadas como se ha dicho  por el método de la deformada y Westergaard en un firme de 25 cm de espesor sobre una base de coeficiente de  poisson 0,35 , un factor de rigidez 1 y bajo la aplicación de una carga de 6500 kg sobre una huella circular de 15 cm de radio.

Si utilizamos  los resultados obtenidos para diversas combinaciones de módulos entre E= 40.000 y E= 300.000  con K= 500 hasta K= 10.000 y comparamos la relación entre W_d y W₀, observamos que :

             En función de E:

                                                              W₀= K_1E x W_d ^K2E

                En función de K:

                                                                  W₀= K_1K x W_d ^K2K

Ambas ecuaciones se consiguen con correlaciones prácticamente de la unidad.

Por otro lado, se encuentran las siguientes correlaciones perfectas:

                                K_1E = K_11E x E ^K12E     y  K_2E = K_21E x E ^K22E

                                K_1K = K_11K x K ^K12K     y  K_2K = K_21K x K ^K22K

Que nos relacionan los parámetros    K_{1E  ,}  K_{2E ,}  K_1K ,  K_2K          con E y con K.

Operando :                                          K_1K x W_d ^K2K = K_1E x W_d ^K2E

Y de aquí se deduce:    

                                                            W_d ^φ1(K,E) = φ₂(K,E)

Siendo:

φ₁(K,E)= (K_2K - K_2E)  /  (K_2K  x  K_2E) 

φ₂(K,E)= (1/K_1E) ^{( (1/ K2E)} / (1/ K_1k) ^{(1/ K2K) )}

Esta ecuación se resuelve fácilmente adoptando la forma : K=  α₁ x E  ^α2

En el gráfico adjunto Nº 75   se puede apreciar la forma en que varían las parejas de valores E, K para una misma deflexión .

Las curvas rojas representan la variación de K y las negras la variación de E entre un valor mínimo de 20000 Kg/cm2 (curva mas a la derecha ) hasta un máximo de 300.000 (curva mas a la izquierda. Cualquier deflexión puede darse para una determinada combinación de valores, así si nos fijamos en una deflexión de 300 milésimas de milímetro evaluada por el método de la deformada (eje vertical), la podríamos haber obtenido con  la pareja K=2.200,   
 E= 20.000 o con las parejas  K=1.400  E=80.000  , K= 1.200 E= 140.000 etc.

La ecuación fundamental restringida en este caso (d=300)  es
  K= 54186,57 x E ^-0.3234

Para d=200 sería

K=90.556,11 x E^-0.3215  etc…

(Mas adelante se ampliará el procedimiento de cálculo bajo petición expresa por parte de algún interesado en su conocimiento,que podrán formular contactando conmigo a través de este blog )

Ecuación fundamental del firme(2)

 En los gráficos Nºs 77 y 78 se describe  la solución para  el caso de que la deflexión medida sea 250 mm/1000 pero en un caso el espesor del firme sea de 25 cm y en el segundo caso sea de 20 cm, los valores de α₁ y α₂ se deducen en cada caso configurando una ecuación diferente. Las dos curvas superiores, determinan un huso que representa hasta un valor del 10% del de la deflexión por encima y por debajo, para acotar así posibles errores de medida.

El cálculo del módulo de la base a partir del paquete resistente es inmediato, así para un módulo 60.000 Kg/cm2 , en el primer caso (espesor de 25 cm) , tendríamos una base con módulo de 2000 Kg/cm2 , y en el segundo (espesor de 15 cm) dicho módulo sería de 2100 Kg/cm2 .

Esta ecuación fundamental es variable en cada caso concreto y se debe de calcular para el estudio que se esté realizando. La utilidad de esta ecuación es muy alta no solo para trazar una evaluación rápida sobre las características de la subbase, sino para aligerar considerablemente los cálculos necesarios para el ajuste de las curvas deformadas.

3.6.2 Cálculo de la Ecuación fundamental del firme:

La formulación anterior  se ha deducido para una Factor de rigidez Fr determinado  , esto supone que para calcular la relación entre K y E , cada vez que queramos hacerlo , hemos de introducir dicho factor de rigidez y repetir los cálculos (ecuaciones diferentes ) para una deflexión y para un factor de rigidez.

La generalización de la ecuación consiste en calcularla teniendo en cuenta la variable Fr , de tal forma que los parámetros α_{1 y} α₂ de la ecuación anterior ,  dependan además del factor de rigidez; con esta formulación los cálculos son mucho más rápidos.

Para deducirla, habrá que calcular la Ecuación fundamental restringida  descrita anteriormente, para diversos valores del factor de rigidez comprendidos entre 0,3 y 3 (ancho de trabajo del firme entre 30 cm y tres metros) y calcular α_{1 y} α₂ en función de dicho factor de rigidez.

Las correlaciones exponenciales para cada uno de estos parámetros son prácticamente la unidad.

Si llamamos K_11Fr y K_{12 Fr} a los coeficientes de la fórmula exponencial para las correlaciones de α₁ en función de Fr y  K_21Fr y K_{22 Fr} para las correlaciones de α₂ , llegamos a obtener

α₁ = K_11Fr * Fr ^ K_12Fr

α₂ = K_21Fr * Fr ^ ^K22Fr

Esta ecuación es igual a la anterior en su formulación pero los parámetros α₁ y α₂ son los aquí calculados: K=  α₁ x E  ^α2

La aplicación de esta ecuación (ver gráfico 78) a los diferentes ensayos realizados en una determinada auscultación , nos permite , de forma muy rápida hacer una evaluación ensayo por ensayo de módulo de la base y como consecuencia calcular las tensiones y deformaciones ; esto se hará teniendo en cuenta las deflexiones en fase elástica , es decir , descontando de la deflexión correspondiente a la carga de cálculo , la residual que será tenida en cuenta a efectos del estudio de huecos y ó la situación de insolidaridad entre capas.

Ajuste de la curva deformada

     Ajuste de la curva deformada

Los cinco parámetros fundamentales que gobiernan la deformación del firme: E, K, μ, Fr y H se pueden determinar tanto en la hipótesis  de deformada isótropa como anisótropa, planteando un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.

Cada una de las ecuaciones sería la que se obtiene igualando la deflexión realmente medida  en un punto, a la deducida de las formulas descritas anteriormente  para el caso de la deformada isótropa y al proceso descrito  para el caso de que estemos considerando la deformada anisótropa.

Bastaría con conocer las deflexiones en cinco puntos diferentes para tener los elementos necesarios para solucionar el problema.

 La resolución del sistema es sumamente compleja y no siempre da resultados satisfactorios debido a que las deflexiones realmente medidas están afectadas por errores de medición y posicionamiento que aunque sean pequeños, distorsionan suficientemente los cálculos como para que no exista compatibilidad entre todas las ecuaciones.

 Por otro lado, si por ejemplo disponemos de 7 deflexiones y resolvemos el sistema para todas las combinaciones de las 7 deflexiones tomadas de 5 en  5 (42  sistemas diferentes), no obtendremos los mismos resultados; si atribuimos un margen  de error razonablemente admisible para los valores de dichas deflexiones y resolvemos  el sistema dentro de la franja de error ,obtendríamos unos resultados asociados a la indeterminación del error, además en el caso de que estemos tratando de calcular la deformada anisótropa , tenemos que considerar al menos dos incógnitas más que sería la posición de unas fisuras o discontinuidades situadas en el entorno de la carga normalmente  que tienen unos coeficientes de transmisión de carga desconocidos. 

Si queremos aumentar el número de discontinuidades o fisuras, el proceso se complica, siempre de forma exponencial, llegando a ser prácticamente imposible la resolución del sistema de ecuaciones.

Por todo esto se recurre a un procedimiento mucho mas rápido y eficaz , que consiste en  “modelizar el firme auscultado” atribuyéndole una curva deformada que pase por todos los puntos auscultados , cuantos más , mejor y que ,una vez calculada, nos aporte no solo los parámetros fundamentales del firme , sino además la posibilidad de calcular un refuerzo, realizar un fresado, reciclado o consolidación de la base con suma facilidad variando el valor de los parámetros que representan al firme auscultado  H y E en el caso de un refuerzo , E en el caso de un reciclado o fresado , K en el caso de una consolidación , Fr en el caso de un saneo sobre fisuras longitudinales o ensanche de carril etc , aparte de que el manejo de la deformada nos informa sobre la importancia que tiene la variación de cada uno de estos  parámetros en el comportamiento del firme.

Este procedimiento es el ajuste de la curva deformada.

El procedimiento consiste en disponer de los puntos de deflexión definidos por el valor de esta y la distancia existente entre el  punto donde se mide  y la posición de la carga distribuida según una determinada huella.

A continuación calculamos todas las deformadas que se corresponden con una variación  de los parámetros que intervienen: E,K,H,μ, Fr, Lf1,Lf2,Ctcf1,Ctcf2  cada uno de ellos dentro de unos valores lógicos. (Lf1,Lf2,Ctcf1,Ctcf2 representan las distancias de dos fisuras al origen de coordenadas respecto el que se va a definir la ecuación de la deformada y Ctcf1, Ctcf2 los coeficientes de transmisión de carga o gravedad de las fisuras supuestas o realmente existentes).

Cada combinación de parámetros (excluidos los que afectan a las fisuras: posición y coeficiente de transmisión de carga), originan un valor diferente del parámetro β y consiguientemente, una deformada diferente de la que solo nos interesa, para el proceso de ajuste, el valor de las deflexiones en los puntos donde las hemos medido.
Recordemos que el mencionado parámetro tiene la expresión:

, siendo 

Para cada deformada, el conjunto de deflexiones obtenidas  (Ns = nº de sensores), se compara con el conjunto de las Ns deflexiones reales medidas obteniéndose el valor:

  Siendo D_cm la desviación cuadrática, dc el valor de la deflexión calculada y dr el valor de la deflexión real existente. La bondad del ajuste será mayor cuanto menor sea D_cm , de tal forma que si todas las deflexiones medidas coincidiesen con las calculadas, D_cm seria cero  el ajuste perfecto.

Definimos el coeficiente de ajuste por deflexión C_ajd al valor  100 – D_cm  y el coeficiente de ajuste por área C_aja  al mismo valor calculado para las áreas deformadas  (en este caso el sumatorio solo afecta a la comparación del área real y el área calculada) , y al haber un solo sumando , tomamos D_cm como el valor absoluto de la diferencia de las áreas.

Las deflexiones para este cálculo hay que introducirlas en centésimas de milímetro  y las áreas en milímetros cuadrados.

De  esta forma calculamos un C_ajd y un C_aja adoptando como solución al conjunto de valores de los parámetros fundamentales del firme, que nos dé el valor mas elevado posible para C_ajd.

El valor de C_aja nos sirve para evaluar Cajd cuando  existan  soluciones con un valor del coeficiente de ajuste por deflexión muy parecido y diferente Coeficiente de ajuste por área, eligiéndose en este caso aquella solución que aporte un coeficiente máximo para este.

El procedimiento es complejo no por su concepto sino por el tiempo que conlleva un ajuste preciso.

En el gráfico 71 se presentan las variaciones de los coeficientes de ajuste por deflexión para el caso de un ajuste isótropo (sin considerar discontinuidades)- color azul y anisótropo (considerando dos discontinuidades a distancia finita de la carga)- color rojo.

Cada curva corresponde a un valor del módulo E del paquete resistente y en el eje horizontal se representa el valor del módulo K de la base , siendo el eje vertical el coeficiente de ajuste encontrado , y esto dejando fijos el resto de los parámetros; los miles y miles de iteraciones necesarias para encontrar el mínimo de la familias de curvas hacen inviable el pretender ajustar las deformadas en cada uno de los puntos medidos ( ensayos) y agruparlos evaluando los valores medios de cada agrupación significativa ( zonas por calidad IEV , zonas no homogéneas por IHE , zonas huera del huso de homogeneidad estructural y dentro de las peores encontradas por IED etc..).

Las curvas son suficientemente expresivas como para evidenciar que el problema tiene solución y que esta es única ya que de todo el haz de curvas, solo existe una con valor mínimo inferior al resto  y la duplicidad de soluciones que se observa entre las ramas descendente y ascendente no influye en que la solución sea única, pero si influyen en la forma de organizar el cálculo ya que de forma analítica y dada la complejidad del mismo, podríamos encontrar soluciones erróneas. 

El análisis detallado de estos gráficos nos evidencia cuestiones de importancia a la hora de interpretar los resultados y la bondad del ajuste. Lo mas relevante es que existe una solución única que combine el máximo ajuste con un valor único de los módulos del firme y del apoyo (E y K). Por otro lado, que para un mismo valor del módulo del paquete resistente, existen solo dos valores de K compatibles con un mismo coeficiente de ajuste. De aquí, que si nos apartamos mucho del valor del ajuste óptimo, podamos cometer errores graves a la hora de evaluar los módulos.

Hipótesis de una sola carga circulando sobre un firme de módulo 230000 Kg/cm2 con tres fisuras

En los gráficos siguientes ( que son capturas de los generados por el programa "gestiondefirmes" ), se puede ver la entrada de datos al procedimiento de cálculo y dos casos de deformada bajo un solo eje de 13 Tn  y según la posición de este eje respecto de las fisuras existentes.

En negro se representa la deformada que tendría el firme en caso de no presentar fisuras y en rojo la deformada real que le corresponde al firme fisurado según la hipótesis que se han fijado.